Ejemplos

Para aplicar la programación lineal en la elaboración de las raciones para vacas lecheras, partimos de una ración hipotética en la cual intervienen los siguientes datos:- Dos alimentos : un Concentrado (X1) y un Forraje (X2)- Tres nutrientes : Proteína Cruda PC Energía Neta de lactancia ENI Fibra Cruda FC- El precio por Kilogramo de cada uno de los alimentos- Necesidades nutritivas de las vacas lecheras.
ALIMENTOS
VARIABLES
PC
ENl
FC
PRECIO


( gr )
( Mcal )
( gr )
( $ )
concentrado
X1
120
2.0
100
100
forraje
X2
200
1.3
280
50
NECESIDADES

PC ( gr )
Enl ( Mcal )
FC ( gr )
MAXIMO


2000
MINIMO
1500
16.5
1300
Nuestro propósito es el de optimizar una ración de Mínimo Costo, aplicando la programación lineal por el método gráfico. El modelo de programación lineal es el siguiente:
(1) MIN 110 X1 + 50 X2
SUJETO A LAS SIGUIENTES RESTRICCIONES
(2) 120 X1 + 200 X2 >= 1500
(3) 2.0 X1 + 1.3 X2 >= 16.5
(4) 100 X1 + 280 X2 <= 2000
(5) 100 X1 + 280 X2 >= 1300
La ecuación (1) corresponde a la FUNCION OBJETIVO, que se trata de Minimizar, la restricción (2) es de la Proteina Cruda PC, que como mínimo debe tener 1500 gramos, la restricción (3) es de la Energía Neta de lactancia ENI, que como mínimo debe tener 16.5 Mcal., la restricción (4) es de la Fibra Cruda, FCmax que como máximo debe tener 2000 gramos, la restricción (5) es también de la Fibra Cruda FCmin, pero en este caso debe tener un mínimo de 1300 gramos.
Se va a determinar por graficación, cuantos Kilogramos de Concentrado (X1) y cuantos Kilogramos de Forraje (X2) se calcularan para que la ración sea al mínimo costo posible y cubra los requerimientos nutritivos.
Para pensar en una interpretación geométrica de nuestro problema, se transforman las inecuaciones 2, 3, 4 y 5 como ecuaciones :
120 X1 + 200 X2 = 1500
2.0 X1 + 1.3 X2 = 16.5
100 X1 + 280 X2 = 2000
100 X1 + 280 X2 = 1300
Se trazan las gráficas de dichas ecuaciones, que no son otra cosa que líneas rectas, en los ejes cartesianos, tomando coma eje de las Xs el Concentrado (X1) y en el eje de las Ys el Forraje (X2).
En el área factible de solución (rayada) tenemos dos vértices, el Punto A, donde se intersectan las líneas de FCmax con ENI y el Punto B donde se intersectan las líneas de ENl con PC; encontrando las coordenadas de estos puntos :
PUNTO A
FCmax 100 X1 + 280 X2 = 2000
Enl 2.0 X1 + 1.3 X2 = 16.5
Donde :
X1 = 4.7 X2 = 5.47
PUNTO B
ENl 2.0 X1 + 1.3 X2 = 16. 5
PC 120 X1 + 200 X2 = 1500
Donde :
X1 = 5.53 X2 = 4.18
Sustituyendo los valores de estos puntos en la ecuación del COSTO.
110 X1 + 50 X2
Para el Punto A (4.7 , 5.47)
110(4.7) + 50(5.47) = 790.5
Que son los valores para el MINIMO COSTO.
Para el Punto B (5.53 , 4.18)
110(5.53) + 50(4.18) = 817.62
La ecuación FCmin 100X1 + 280 X2 = 1300
está fuera del área factible de solución, por lo tanto, no participa en la solución del problema de optimización.
LA SOLUCION ES :
CONCENTRADO (X1) = 4.70 Kg.
FORRAJE (X2) = 5.47 Kg.
MINIMO COSTO = $ 790.50
APORTE DE NUTRIENTES POR LA RACION :
Proteina Cruda PC 120(4.7) + 200(5.47) = 1658 gr., que es poco más del mínimo impuesta por la restricción de 1500 gr.
Energía Neta de lactancia ENI 2.0(4.7) + 1.3(5.47) = 16.5 Mcal., que es el mínimo requerido e impuesto por la restricción.
Fibra Cruda FC 100(4.7) + 280(5.47) = 2000 gr., que es limite máximo requerido e impuesto por la restricción 1300 - 2000 gr. detalles graficos en:http://orbita.starmedia.com/~arivera/lineal.htm